在向量微积分和物理学中，向量場（英語：vector field）^[1]是把空間中的每一点指派到一個向量的映射^[2]。物理學中的向量場有風場、引力場、電磁場、水流場等等。

設X是Rⁿ裡的一個连通開集，一個向量場就是一個向量函數

${\displaystyle \mathbf {F} :X\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

我們稱${\textstyle \mathbf {F} }$為一個C^k向量場，如果${\displaystyle \mathbf {F} }$在X上是k次連續可微的。

在X內，一個點x被稱為固定的，若

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

向量場可以理解為一個n維空間，其中對X內每一個點都有個附著的n維向量。

給定兩個定義於X上的C^k-向量場F,G以及一個定義於X上的C^k-實值函數f，可以定義以下運算

${\displaystyle (f\mathbf {F} )(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\mathbf {F} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {(F+G)} (\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )+\mathbf {G} (\mathbf {x} )}$

如此便可定義在C^k函數的環上的C^k向量場的模。

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