麥卡托投影法(英語:Mercator projection),又稱麦卡托投影法、正軸等角圓柱投影,是一種等角的圓柱形地圖投影法。
本投影法得名於法蘭德斯(佛蘭德)出身的地理學家傑拉杜斯·麥卡托,他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上,將地球在平面展開,經緯線於任何位置皆垂直相交,使世界地圖可以繪製在一個長方形,地圖的任一點在各種方向的長度均相等。由於可顯示任兩點間的正確方位,指出真實的經緯度,航海用途的海圖、航路圖大都以此方式繪製。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变,從而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变(即等角);但麥卡托投影会使面积产生变形,赤道地區變化最小,南北兩極的變形最大,但因為在南北迴歸線之間影響很少,而這是多數航線所在區域,所以被廣泛用來編製地圖。
数学计算
下列公式在使用墨卡托投影的地图中,从纬度φ和经度λ(其中λ0是本初子午線)推导为坐标系中的坐标x和y。
这是古德曼函数的逆推导:
这是古德曼函数:
比例尺与纬度φ的正割成比例,越趋向极地(φ = ±90°)面积变形越大。此外,由公式可知,极点处的y值为正负无穷大。
公式推导
假设地球为正球形。(实际上并非为正球形,而是有扁率的,但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确,可插入等角纬线。)我们需要将经纬度坐标(λ, φ)转换为笛卡尔坐标(x, y),求以赤道为基准的切柱面投影(即x = λ),并保持形状不变,故:
从 x = λ 可知
给出
因此,y是φ的唯一函数,且可得到,由积分表
在地图中φ = 0得到y = 0,所以取C = 0.
錯覺
由於麥卡托投影在高緯度過分放大,低緯度又過分縮小,因此會產生有趣的錯覺。比如世界第一大島高緯度的格陵蘭比澳洲看起來還大好幾倍。世界第二大島低緯度的新幾內亞和日本差不多大小。然而新幾內亞島面積足足是日本的2倍。
以下是實際面積(單位:平方公里)
- 澳洲:7,692,024平方公里
- 格陵蘭:2,166,086平方公里
- 日本:378,000平方公里
- 新幾內亞島:786,000平方公里
参见
參考資料
- Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987.可至USGS pages下载。
- Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004.
- Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
- Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.
- A Look at the Mercator Projection https://www.gislounge.com/look-mercator-projection/(页面存档备份,存于互联网档案馆)