在线性代数中,多重线性映射是有多个向量变量而对每个变量都是线性的函数。
n个变量的多线性映射也叫做n重线性映射。
如果所有变量属于同一个空间,可以考虑对称、反对称和交替的n重线性映射。后两个是一致的,如果底层的环(或域)有不同于二的特征,否则前两个是一致的。
一般讨论可见多重线性代数。
可以考虑在有单位元的交换环K上的n×n矩阵上的多重线性函数为矩阵的行(或等价说列)上的函数。设A是这样的矩阵而
, 1 ≤ i ≤ n是A的行。则多重线性函数D可以写为
,
满足
,
如果我们设
表示单位矩阵的第j行,我们用下列方法表示
![{\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e27373438cd8409708b7be381ee612610fd6383)
利用D的多线性我们重写D(A)为
![{\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)D(\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c161244eb073a3146c1d17c8cfc3ef51c82251)
继续这种代换于每个
我们得到,对于1 ≤ i ≤ n
![{\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{i}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D(\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4438200a14dccb96744ce2956e0c12946454f1ea)
所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于
上。
在2×2矩阵的情况下我们得到
,
这裡的
且
。如果我们限制D是交替函数,则
且
。设
我们得到在2×2矩阵上行列式函数:
,
多重线性映射有零值,只要它的一个参数是零。
对于n>1,唯一的也是线性映射的n-线性映射是零函数。