在概率论与统计学中,任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果
是正态分布的随机变量,则
(指数函数)为对数正态分布;同样,如果
是对数正态分布,则
为正态分布。
如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积,则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积。
对于
,对数正态分布的概率密度函数为

其中
与
分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

方差为

给定期望值与方差,也可以用这个关系求
与


对数正态分布、几何平均数与几何標準差是相互关联的。在这种情况下,几何平均值等于
,几何標準差等于
。
如果采样数据来自于对数正态分布,则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间,就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。
置信区间界
|
对数空间
|
几何
|
3σ 下界
|
|
|
2σ 下界
|
|
|
1σ 下界
|
|
|
1σ 上界
|
|
|
2σ 上界
|
|
|
3σ 上界
|
|
|
其中几何平均数
,几何標準差
原始矩为:




或者更为一般的矩

随机变量
在阈值
上的局部期望定义为

其中
是概率密度。对于对数正态概率密度,这个定义可以表示为

其中
是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用,著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。
为了确定对数正态分布参数
与
的最大似然估计,我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

其中用
表示对数正态分布的概率密度函数,用
— 表示正态分布。因此,用与正态分布同样的指数,我们可以得到对数最大似然函数:

由于第一项相对于
与
来说是常数,两个对数最大似然函数
与
在同样的
与
处有最大值。因此,根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程,我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

- 如果
与
,则
是正态分布。
- 如果
是有同样
参数、而
可能不同的统计独立对数正态分布变量 ,并且
,则
也是对数正态分布变量:
。
- 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
- Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues (页面存档备份,存于互联网档案馆), E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
- 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
- Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 (页面存档备份,存于互联网档案馆) at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.