有限体积法( 英文:finite volume method )是一种以数值方法解偏微分方程的計算方式[1]。 在有限體積法中,將要描述的物理實體切分為網格單元來描述,並使用发散定理,將所有包含发散项的偏微分方程中的體積積分轉換為表面积分。然后將每個網格的项加總,便成為每個有限體積表面的通量。因为進入给定體積的通量与离开相鄰體積的通量相同,所以这些方法是守恆的。该方法用於许多计算流体动力学軟體。
有限体积法常被拿來與有限元素分析做比較,后者使用節點值来近似導數,或者使用有限元方法来使用局部數值来逼近解的局部近似值,并通過將它們加總在一起来形成全域近似值。另一方面,有限體積法會計算某个體積中的網格解之平均,然后使用此平均值来決定單元内解的近似值[2][3]。
一维平流問題:

在這裡代表狀態變量,
代表的通量或流量
。習慣上,
正值代表向右流動,而
負值代表向左流動。如果假設式(1)表示恆定面積的流動介質,則可以空间域
,细分為數個網格單元,以每個網格單元所佔的有限體積以
作為標記 。對於特定的單元
,我们可以定義該體積某物理量( 壓力、溫度等 )之通量或流量平均值
在時間
和
,如式(2)

而在時間
時式(2)可寫為:

此處
和
分别代表上游和下游面或網格單元的交界面位置
。
將式(1)積分,可得:

當
。
為了得到在時間
的有限體積平均值
,在此積分位於整個有限體積的所有網格的流量
,並
並將計算结果除以
,即可得:

我們可以逆向積分的順序。同样,请记住,流量垂直於單元的表面。現在,因为一维
,我们可以應用散度定理,即
,并用的值代替散度的体积积分
在網格單元表面計算(某單元與其他單元之前後交界面
和
)的有限體積如下:

當
。
因此,對于上述問題,我们可以得出一个半離散的數值格式,其單元中心的索引為
,且單元交界面通量的索引為
,通過對時間對式(6)進行微分,可得:
![{\displaystyle \quad (7)\qquad \qquad {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1865cfc7bed5417ba22f47a5245d4db89e19f7d1)
通過某單元交界面通量的值
可以通过對單元平均值进行内插或外推来獲得。式(7)對於該有限體積的平均值是精确的,因為在推導過程中未進行任何近似。
該方法也可以應用於2D形況,只要同時考慮單元四周交界面,北面、南面、东面和西面即可。
我們還可以考慮以下PDE代表的一般守恒定律問題,

此處
代表狀態向量
代表相应的通量張量。同样,我們可以將空間域细分為有限體積的網格單元。對於特定的網格單元
,將體積積分乘以單元的總體積
, 如式(9)。

將第一項積分可得体积平均值,然后将散度定理應用於第二項,可得:

此處
代表單元的總表面積,
是垂直於表面並指向外的單位向量。最后,可得一般结果如式(11)。

同樣的,可以通過對單元平均值进行内插或外推来重建交界面通量的值。實際的數值將取决於問題的幾何形狀和軮格結構。
有限体积方案是守恆的,因為單元平均会通过交界面通量而變化。換句話說,某個單元所損失的物理量,必定會通過交界面而被另一單元所獲得!
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- ^ LeVeque, Randall. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. 2002 [2020-12-23]. ISBN 9780511791253. (原始内容存档于2020-10-23).
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