在数学中,李群胚(Lie groupoid)是满足如下条件的群胚:对象集合 与态射集合 都是流形,源与靶运算
是淹没,以及所有范畴运算(源与靶,复合,单位映射)都是光滑的。
就像群胚是有许多对象的群,一个李群胚可以想象为“有许多对象的李群推广”。恰如每个李群有一个李代数,每个李群胚有一个李代数胚。
例子
- 任何李群给出了具有一个对象的李群胚,反之亦然。所有李群胚理论包含李群理论。
- 给定任何流形 ,有一个李群胚称为配对李群胚, 作为对象流形,从一个对象到任何对象恰有一个态射。在这个群胚的态射流形是 。
- 给定一个李群 作用在流形 上,有一个称为平移李群胚的李群胚,对每个三元组 使得 有一个态射。
- 任何叶状结构给出了一个李群胚。
- 任何带有结构群 G 的主丛 给出了一个李群胚,即在 M 上的 ,这里 G 作用在二元组的每个分量上。通过配对群胚相容的表示定义复合。
森田态射与光滑栈
除了群胚的同构,李群胚之间有一个粗糙一点的等价关系,即所谓的森田等价。一个很一般的例子是 切赫群胚之间的森田态射,如下所述。设 M 是一个光滑流形而 是 M 的开覆盖。定义不交并 ,显然有淹没 。为了说明流形 M 的结构定义态射集合 ,这里。源与靶映射定义为嵌入 与 。如果我们将 视为 M 的子集,乘法是显然的( 与 一致的点事实上在 M 中相同,也在 里)。
这个切赫群胚事实上是 的拉回群胚,即 M 在 p 下的平凡群胚。这便是什么为森田态射。
为了得到等价关系的概念,我们需要这个构造具有对称性与传递性。在这种意义下,我们说两个群胚 与 森田等价当且仅当存在第三个群胚 以及从 G 到 K 与 H 到 K 的两个森田态射。传递性是群胚主丛范畴中有趣的构造。
在这里问题出现:在森田等价下什么是不变的。有两个显然的东西,一个是群胚的粗糙商/轨道空间 ,另一个是 与 中对应点的稳定群。
更进一步的问题是粗糙商空间的是怎么到一个光滑栈这个概念的。我们可以期望粗糙商是光滑流形,比如如果稳定群是平凡的(切赫群胚的例子便是)。但如果稳定群变了,我们便不能再指望得到光滑流形。解决方案是回到问题然后定义:
一个光滑栈是李群胚的一个森田等价类。栈上自然的几何对象是李群胚在森田等价下不变的几何对象。作为一个例子是考虑李群胚的上同调。
例子
参见条目
外部链接
- Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.
- Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005