在数学中,
阶特殊酉群(英語:special unitary group),记作
,是行列式为 1 的
酉矩阵组成的群(一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数)。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由
酉矩阵组成的酉群
的一个子群,酉群又是一般线性群
) 的一个子群。
群
在粒子物理中标准模型中有广泛的应用,特别是
在电弱相互作用与
在量子色动力学中。
最简单的情形
,是平凡群,只有一个元素。群
同构于範數为
的四元数,从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转(差一个符号),我们有一个满同态从
到旋转群
,其核为
。
特殊酉群 SU(n) 是一个 n2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上,它是一个单李群(意为它的李代数是单的,见下)。SU(n) 的中心同构于循环群 Zn。当 n ≥ 3,它的外自同构群是 Z2,而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。
SU(n) 代数由 n2 个算子生成,满足交换关系(对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n):
![{\displaystyle \left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b3972119ca512c9282df7b07ca7bebacaa6f0d)
另外,算子
![{\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8763a3095183d182f6e2e898e62dec8ee27b7f)
满足
![{\displaystyle \left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f69cc61b479641df321e9e8e61a94ae9f3381c0)
这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n2-1[1]。
一般地,SU(n) 的无穷小生成元(infinitesimal generator) T,由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即
![{\displaystyle \operatorname {tr} (T_{a})=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f326801d54cacdddbe60aeeca567bdaa9e5eca8)
以及
![{\displaystyle T_{a}=T_{a}^{\dagger }.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b4e2d6c1081e70c9c1b0a57c413525346e7995)
在定义或基本表示中,由
矩阵表示的生成元是:
![{\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432ea91e6d7107c652b7a2f5029244fc68f1406c)
- 这里系数
是结构常数,它对所有指标都是反对称的,而系数
对所有指标都是对称的。
从而
![{\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]_{+}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad19fbadc0096219aa5041eeb9074090dd7be88a)
![{\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]_{-}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{f_{abc}T_{c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2890e1dce2ccedfc8555d39de58da93a6a3a5865)
我们也有
![{\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f25553b73591498ad9f2546950880c257f47942)
作为一个正规化约定。
在伴随表示中,生成元表示由
矩阵表示,其元素由结构常数定义:
![{\displaystyle (T_{a})_{jk}=-if_{ajk}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09d41bddc2fa771f94ebf2157835c344c8acb98)
一个一般矩阵元素形如
![{\displaystyle U={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9c662c70e91a247cbe7a4a1b6d5b2cebaa8d2b)
这里
使得
。我们考虑如下映射
,(这里
表示 2×2 复矩阵集合),定义为
![{\displaystyle \varphi (\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3700d7f59c9ff5aad30a89053540fee19ace0f)
考虑到
微分同胚于
和
同胚于
,我们可看到
是一个实线性单射,从而是一个嵌入。现在考虑
限制在三维球面上,记作
,我们可发现这是三维球面到
的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有
,作为一个流形微分同胚于
,使
成为一个紧连通李群。
现在考虑李代数
,一个一般元素形如
![{\displaystyle U'={\begin{pmatrix}ix&-{\overline {\beta }}\\\beta &-ix\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56be4d835f93b3c035d544d9a5be6286baa0603a)
这里
以及
。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成
![{\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219d26aa1af9f27a9584807ddb0d263a05a752e3)
易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系
和
。从而交换子括号由
![{\displaystyle [u_{1},u_{3}]=2u_{2},\qquad [u_{2},u_{1}]=2u_{3},\qquad [u_{3},u_{2}]=2u_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1345d70a29d23b99ece19227b2c0e182a15ac961)
确定。上述生成元与泡利矩阵有关,
,
及
。
SU(3) 的生成元 T,在定义表示中为
![{\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{\sqrt {2}}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ab8e6360ff7cfd52b5b6706af2cf6ed99c8d5a)
这里
为盖尔曼矩阵,是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比:
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|
|
注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。
它们服从关系
![{\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ea9c89886a023dbf0bbfd47539250782f4ad5c)
- 这里 f 是结构常数,如上所定义,它们的值为
![{\displaystyle f^{123}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c80cf8fc4e5c16e64ee92e4ecc54ff1929488e5)
![{\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3e3042b502b47e1e03d6f6f043babe544573f8)
![{\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6623d46f59ff4aa5cff68f55ce5c4070435051ef)
d 的取值:
![{\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406e66ab27f256d0faae5156f9162d7e7387f68e)
![{\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f3f43485fece796f61bd4cf53adaba4fea1c36)
![{\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18f7444a225deb9f328f3422a6bfa020e6339c1)
对应的李代数记作
。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特
复矩阵组成,以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子
,从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意
是
上一个李代数。
例如,下列量子力学中使用的矩阵组成
在
上的一组基:
![{\displaystyle i\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265fc08f56e566eeb9e2303cb7e39f428cf5838b)
![{\displaystyle i\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80726809cadc03298879b63d37fb8985fa240823)
![{\displaystyle i\sigma _{z}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba24aa0899e8c9ed6146e70395ac06293a786a6c)
(这里
是虚数单位。)
这个表示经常用于量子力学(参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵)表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。
注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元,以及生成元反交换。与单位矩阵(乘以
)一起
![{\displaystyle iI_{2}={\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627337235e1d678f5be443b70a81818a738004b5)
它们也是
的生成元。
当然这里它取决于我们最终处理的问题,比如在非相对论量子力学中为 2-旋量;或在相对论狄拉克理论中,我们需要到 4-旋量的一个扩张;或在数学中甚至是克利福德代数。
注:在矩阵乘法下(在此情形是反交换的),生成克利福德代数
,而在交换子括号下生成李代数
。
回到一般的
:
如果我们选择(任意)一个特定的基,则纯虚数无迹对角
矩阵子空间组成一个
维嘉当子代数。
将这个李代数复化,从而现在允许任何无迹
矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己,只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数
只是
维,但为了化简计算,经常引入一个辅助元素,与所有元素交换的单位矩阵(它不能视为这个李代数的一个元素)。故我们有一个基,其中第
个基向量是在第
个对角元素为
而在其它处为零的矩阵。则权由
个坐标给出,而且在所有
个坐标求和为零(因为单位矩阵只是辅助的)。
故
的秩是
,它的邓肯图由
给出,有
个顶点的链。
它的根系由
个根组成,生成一个
欧几里得空间。这里,我们使用
冗余坐标而不是
坐标来强调根系的对称(
坐标之和为零)。换句话说,我们是将这个
维向量空间嵌入
-维中。则根由所有
置换
。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为
,
,
- …,
.
它的嘉当矩阵是
.
它的外尔群或考克斯特群是对称群
,
-单形的对称群。
对一个域 F,F 上广义特殊酉群 SU(p,q;F),F 上一个秩为 n=p+q 的向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环,在这种情形向量空间换为自由模。
特别地,固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵,则所有
![{\displaystyle M\in SU(p,q,R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb4925e1042b32f6f6bc098a55d85d5ffbebb0b)
满足
![{\displaystyle M^{*}AM=A\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50121dd67aa5efabfa0684ae69153ad5fc09b587)
![{\displaystyle \det M=1.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806051cf67c9625cdf2bcb03dce2ceba955b7496)
经常可以见到记号
略去环或域,在这种形式环或域是指 C,这给出一个典型李群。当 F=C 时,A 的标准选取是
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b140c4a3cd4958fc60e5aa21f8232f186b308a)
对某些维数 A 可能有更好的选择,当限制为 C 的一个子环时有更好表现。
这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i]),(射影地)作用在二度复双曲空间上,同样地 SL(2,Z) (射影地)作用在二维实双曲空间上。2003年,Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在
上作用的基本域,参见 [1]。
另一个例子是 SU(1,1;C),同构于 SL(2,R)。
在物理学中,特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是,对 p>1,n-p>1:
![{\displaystyle SU(n)\supset SU(p)\times SU(n-p)\times U(1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6384954bc38dfb547c9bf427ba3dde247aed0e5)
为了完整性,还有正交与辛子群:
![{\displaystyle SU(n)\supset O(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799b9fec594329c9d235d241a9669693a8bd2023)
![{\displaystyle SU(2n)\supset USp(2n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c412d92d8067646042fc0435c7c31c898cfbe26)
因为 SU(n) 的秩是 n-1,U(1) 是 1,一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群:
![{\displaystyle SO(2n)\supset SU(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0457b7c50c7a6ef0341968936af01229c245ef7)
![{\displaystyle USp(2n)\supset SU(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb18aa0d0af158c0c39755b2b28da38c2a7f064)
(参见自旋群)
![{\displaystyle E_{6}\supset SU(6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be560ed1b6b9e8da745ffe5288968638e9c0de1f)
![{\displaystyle E_{7}\supset SU(8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035f814a41dee3d29061c50abee273e94b865bec)
(关于 E6, E7 与 G2 参见单李群)。
有同构 SU(4)=Spin(6),SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。
最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群,这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。
- ^ R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.