光錐

在狹義相對論中，光錐（英語：light cone）是閔考斯基時空下能夠與一個單一事件通過光速存在因果聯繫的所有點的集合，並且它具有勞侖茲不變性。光錐也可以看作是閔考斯基時空下的一束光隨時間演化的軌跡。在三維空間中，光錐可以通過將兩條正交的水平軸取做空間坐標，將垂直於水平面的豎直軸取做時間坐標從而實現可視化。為了簡明起見，這裡首先考慮的是平面上的光錐：即用來描述它的閔考斯基圖只具有一維時間（縱軸）和一維空間（橫軸），我們將看到光錐在勞侖茲變換下具有不變性。

正常勞侖茲群的勞侖茲變換包括兩種基本變換操作：旋轉（英語：rotation）和直線運動（英語：boost），而直線運動也可以看作是時間與空間坐標軸之間的相對旋轉（具體見下文）。勞侖茲變換彼此間是非對易的，這意味著勞侖茲群是一個非阿貝爾群；這兩種變換操作和平移變換操作一起包含在同樣為非阿貝爾群的龐加萊群中。我們考慮其中的直線運動變換：

${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu ^{\prime }}={\begin{pmatrix}cosh\,\phi &-sinh\,\phi &0&0\\-sinh\,\phi &cosh\,\phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

這個勞侖茲變換描述的是坐標系沿x軸的等速運動情形，其中參數${\displaystyle \phi \,}$和坐標系的運動速度${\displaystyle v\,}$之間的關係為

${\displaystyle v=tanh\,\phi \,}$

將這個關係代入上面的變換矩陣中可以得到勞侖茲變換較為初等的傳統形式，即

${\displaystyle t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

${\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

在閔考斯基圖中，一維時間和一維空間相互正交，橫軸為空間x軸，縱軸為時間t軸。在上文中沿x軸運動的勞侖茲變換下，產生的新坐標系與原坐標系之間的關係為

${\displaystyle t^{\prime }=t\,cosh\,\phi -x\,sinh\,\phi \,}$

${\displaystyle x^{\prime }=-t\,sinh\,\phi +x\,cosh\,\phi \,}$

其結果就是兩條坐標軸會同時向內發生旋轉，如左圖所示，其中還表示了任意一點A在不同坐標下的投影。變換後的兩條坐標軸在歐幾里得幾何下不是正交的，但在勞侖茲變換的意義下仍然是正交的。

在自然單位下，光速${\displaystyle c=1\,}$，則在閔考斯基圖中光的軌跡由方程式${\displaystyle x=\pm t\,}$給出；同樣，對於勞侖茲變換後的坐標系，光的軌跡由方程式${\displaystyle x^{\prime }=\pm t^{\prime }\,}$給出。如右圖所示，光的軌跡在勞侖茲變換下的不同坐標系中都是相同的，即光速在所有慣性系下都是相同的，這也正是狹義相對論的光速不變原理的體現。

從閔考斯基圖上的光的軌跡${\displaystyle x=\pm t\,}$可以建立光錐的概念。對於閔考斯基時空中的任一事件，都對應有時空中的一組點的集合能夠通過光的軌跡（在閔考斯基時空中是直線）與之聯繫，這組點的集合被稱作光錐。在通常的二維空間和一維時間表示中光錐由兩個對稱的圓錐體組成，它的特性是具有勞侖茲不變性。兩個對稱的圓錐分別代表了當前事件的過去和未來：

• 光錐內部的所有點（如左圖中的事件B）都可以通過小於光速的速度與當前事件建立因果聯繫，它們與當前事件的間隔被稱作類時間隔

${\displaystyle s^{2}=-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}<0}$

• 光錐表面上的所有點都可以通過光速與當前事件建立因果聯繫，它們與當前事件的間隔被稱作類光或零性間隔

${\displaystyle s^{2}=-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

• 光錐外部的所有點（如左圖中的事件C）都無法與當前事件建立因果聯繫，它們與當前事件的間隔被稱作類空間隔

${\displaystyle s^{2}=-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}>0}$

由於光錐本身具有勞侖茲不變性，事件之間的間隔屬於類時還是類空的也與觀察者所在的參考系無關。其中對於類空間隔的事件，由於兩者沒有因果聯繫，不能認為它們也具有古典力學中描述的所謂同時性，即無法認為任何類空間隔的兩個事件是同時的。

光錐的概念同樣可以擴展到廣義相對論中，這時的光錐可以定義為一個事件的因果未來和因果過去的邊界，並包含了這個時空中的因果結構資訊。構成光錐的仍然是這個時空中光的世界線，此時對應的時空圖是潘洛斯-卡特圖。由於在廣義相對論中時空可以是彎曲的，光錐也有可能是收縮或傾斜的。

• Sean Carroll. Lecture Notes on General Relativity (PDF). ArXiv. [2008-10-10]. （原始内容存档 (PDF)于2020-07-25）. 
• Charles W. Misner, John A. Wheeler and Kip S. Thorne. Gravitation. W. H. Freeman. 1973. ISBN 978-0716703440. 
• Sean Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Benjamin Cummings. 2003. ISBN 978-0805387322. 
• Bernard F. Schutz. A First Course in General Relativity. Cambridge University Press. 1985. ISBN 978-0521277037. 

• 閔考斯基時空：介紹光錐
• 狹義相對論中的悖論
• 製作一個你自己的光錐，可以看到你已經與哪些星體建立了因果聯繫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）