卡爾·弗里德利希·高斯

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約翰·卡爾·弗里德利希·高斯 Carl Friedrich Gauß
卡爾·弗里德利希·高斯的畫像，由Christian Albrecht Jensen創作
出生	(1777-04-30)1777年4月30日  布藍茲維-沃爾芬比特爾親王國布藍茲維
逝世	1855年2月23日(1855歲—02—23)（77歲） 日耳曼邦聯漢諾威王國哥廷根
居住地	漢諾威王國
國籍	漢諾威王國
母校	黑爾姆斯特大學
獎項	科普利獎章（1838年）
科學生涯
研究領域	數學、物理學、天文學、大地測量學
機構	哥廷根大學
博士導師	約翰·弗里德利希·普法夫（英語：Johann Friedrich Pfaff）
其他指導者	馬丁·巴特爾斯（英語：Johann Christian Martin Bartels）
博士生	克里斯托夫·古德曼 克里斯蒂安·路德維希·格林（英語：Christian Ludwig Gerling） 理查·戴德金 利斯廷 波昂哈德·黎曼 克里斯蒂安·彼得斯 莫里茲·貝內迪克特·康托爾
其他著名學生	約翰·法蘭茲·恩克 狄利克雷 費迪南·艾森斯坦 Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt（英語：Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt） 古斯塔夫·基爾霍夫 恩斯特·庫默爾 奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯 L. C. Schnürlein（英語：L. C. Schnürlein） 尤利烏斯·威斯巴哈（英語：Julius Weisbach）
施影響於	索菲·熱爾曼 Ferdinand Minding（英語：Ferdinand Minding）
簽名

約翰·卡爾·弗里德利希·高斯（德語：Johann Carl Friedrich Gauß^ⓘ，1777年4月30日—1855年2月23日），德國數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。目前普遍認為他是有史以來最偉大的數學家之一，並享有「首席數學家」（拉丁語：Princeps mathematicorum^{[1][註 1][註 2]}）的美譽。因為高斯於數學發展有重大貢獻，後世也尊稱其為「數學王子」。

1777年4月30日，約翰·卡爾·弗里德利希·高斯出生在布藍茲維-沃爾芬比特爾親王國（現為德國的下薩克森邦）布藍茲維市的一個清寒家庭。^[2][3]高斯的父親是格布哈德·迪特里希·高斯（Gebhard Dietrich Gauss，1744–1808），格布哈德1768年與其第一任妻子結婚，但第一任妻子1775年死於肺結核，終年30歲。之後他於1776年與高斯的母親結婚。格布哈德從事過多種工作如屠夫、磚匠、園丁等。高斯的母親多蘿西婭（Dorothea，1743–1839）沒有受過學校教育，近乎是文盲，但她聰明、性格開朗且堅強，她婚前曾當過7年女僕。高斯曾描述其父親「在許多方面值得尊敬，也確實受人尊重，但在家裡卻獨斷專橫，粗野而無教養」，描述她的母親為一位「傑出的女性」。多蘿西婭有一個弟弟（即高斯的舅父）約翰·弗里德利希（Johann Friedrich）是位技術精湛的藝術家，他意識到了侄子高斯的天賦異稟，便不時盡自己所能指點高斯。1809年舅父離世時，高斯經常說「一個天生的天才就這樣離去了」。父親格布哈德曾力圖讓高斯走他的老路，成為一名石匠或園丁，不支持高斯接受教育，不過母親和舅父都意識到了高斯的天賦，極力支持和擁護高斯通過教育來發展才能。^{[4] [5]}

高斯是數學領域的神童，當高斯的小學老師比特納（J. G. Büttner）和其助手約翰·克里斯蒂安·馬丁·巴特爾斯意識到他天賦異稟，便向普魯士元帥布藍茲維-呂內堡公爵介紹高斯的才能。公爵也很快意識到高斯的才能，便把高斯送往卡羅琳學院並給予經濟支持，1792年至1795年間，高斯在此就讀，其中有一位老師是埃伯哈德·奧古斯特·威廉·馮·齊默爾曼。此後直至1798年，公爵繼續給予和資助高斯在哥廷根大學進修，高斯在此學習數學、自然科學和古典學。^[6][7]

高斯是一名在校學生，更是一位自學成才的學生，他自己發現了幾個已被發現的重要數學定理。他於1796年解決了自古希臘時期起就困擾著數學家的幾何問題：他證明了可以通過尺規作圖畫出某些正多邊形（即可作圖多邊形），他將此發現寫於他的第一份出版物中，這一發現也使得高斯以數學而非文學為自己的事業。高斯對這一發現極為滿意，他曾向他的摯友匈牙利數學家鮑耶·亞諾什表示，要在自己的墓碑上刻一個正17邊形，但後來在布藍茲維建高斯紀念碑時，石匠說所有人會把刻的正17邊形看作圓，因此只在紀念碑基座背面刻了17點的星形。^[8][9][10]1796年也是高斯大顯身手的一年，在高斯的數學日記（Mathematisches Tagebuch）中，記於3月30日的第一條即為構造正17邊形的方法，其他的條目有：進一步改良了模運算的方法，大大的簡化了在整數上的運算；4月8日，給出了二次互反律的第一個證明；5月13日，猜測質數在整數中的分布即質數定理，此猜想於1896年由法國數學家雅各·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦萊布桑各自給出嚴格證明；7月10日，他在日記中記下：「ΕΥΡΗΚΑ！num =Δ+Δ'+Δ」，即每個正整數都可以表示為三個三角形數的和。從這年起，高斯對其數學巨著《算術研究》（Disquisitiones arithmeticae）萌生了許多想法。

1798年，高斯完成了他的巨作《算術研究》，該作直到1801年才正式出版。

晚年的高斯雖然患有痛風，但仍然思維活躍。62歲時，他開始自學俄語，可能是為了閱讀俄羅斯數學家羅巴切夫斯基關於非歐幾里得幾何的著作。^[11] 他的最後一次天文觀測是對於1851年7月28日的日食（時年74歲）。^[12]1855年2月23日凌晨一點零五分，77歲的高斯因心臟病發作，在哥廷根天文台的躺椅上去世。^[13]高斯被安葬在哥廷根的阿爾巴尼公墓（英語：Albanifriedhof）。高斯的女婿埃瓦爾德（英語：Heinrich Ewald）（即高斯的女兒威廉明娜的配偶）和高斯的學生兼摯友薩托里爾斯（英語：Wolfgang Sartorius von Waltershausen）在高斯的葬禮上致悼詞。

高斯在其1799年的博士論文中清晰地闡明了複數的概念和應用，並且嚴格證明了代數基本定理，該定理指出任何一個一元複系數多項式方程式都至少有一個複數根，在此之前，包括讓·勒朗·達朗貝爾在內的數學家作出了對此定理錯誤的證明，高斯的論文也包含對達朗貝爾證明的指正^[14]。

從高斯的數學日記中的條目可知，他至少已於1796年開始研究數論問題，其中他的一些發現已經由其他學者先於其完成。1798年（時年21歲）至1799年^[13]，高斯在《算術研究》一教材中對所有上述這些成果進行了彙編，這本書也使得數論得以嚴謹化和系統化，其中涵蓋了初級和代數數論。在這本教材的主要章節，高斯給出了二次互反律的兩個證明方法，這成為數論繼續發展的重要基礎。這部著作的第一章，引入同餘的概念，並用符號≡表示。他還證明了費馬多邊形數定理的三角形數的情況。在最後一章中，高斯將一個幾何問題轉化為代數問題，他斷言正多邊形能用尺規作圖（這時稱為可作圖多邊形）若且唯若該正多邊形的邊數是2的非負整數次冪和任意個（可為0個）相異費馬質數的乘積，高斯給出了這一命題充分性的證明，但沒有給出必要性的證明。^[15]必要性的嚴格證明由法國數學家皮耶·洛朗·旺策爾（英語：Pierre Wantzel）於1837年給出。^[16]

高斯可能在1801年就知曉了類數公式^[17]，同年，他發表了關於有限體中係數多項式的解的數量的結論，150年後促成了韋爾猜想（英語：Weil conjectures）。此外他還研究了連分數，發現了質數分布規律即質數定理，和證明了費馬大定理n=5的情形^[18]和正則排列的克卜勒猜想。

通過對足夠多的測量數據的處理後，可以得到一個新的、機率性質的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨後專注於曲面與曲線的計算，並成功得到高斯鐘形曲線（常態分布曲線）。其函數被命名為標準常態分布（或高斯分布），並在機率論中大量使用。

高斯推導了尋找復活節日期和逾越節日期的計算方法。1805年，他在計算小行星帕拉斯（Pallas）和朱諾（Juno）的軌道時，發現了用於計算離散傅立葉轉換的庫利-圖基快速傅立葉轉換算法，比詹姆士·庫利和約翰·圖基早160年，之後他將其延伸為三角插值法（英語：Trigonometric interpolation）。^[19]

1796年（時年19歲），高斯給出了僅用尺規作圖構造出正17邊形的方法，這是2000多年來正多邊形尺規作圖的首次進展。^[20]

非歐幾何方面。高斯稱其發現了非歐幾何的可能性，事實上他確是正真預見並具有相當完整的非歐幾何想法的第一人，但他並沒有正式發表過相關內容^[21]。1829年之前高斯給其他數學家的信件中，他模糊地討論了平行公設的問題，鄧寧頓（英語：G. Waldo Dunnington）認為，在鮑耶·亞諾什發表非歐幾何之前，高斯實際上已經完全掌握了非歐幾何，但是他拒絕發表任何東西，因為他害怕引起爭議。^[22][23]「非歐幾何」一詞由他創造^[24]，這一發現是幾何領域的革命性轉變，因為它使數學家擺脫了錯誤的觀念，即歐幾里得公理是使幾何學一致且無矛盾的唯一方法。對非歐幾何的研究促成了愛因斯坦的廣義相對論，後者將宇宙描述為非歐幾里得空間。

1818年至1826年間，高斯主導了漢諾威公國的大地測量工作。通過最小平方法為基礎的測量平差的方法和求解線性方程組的方法，顯著地提高了測量的精度。

高斯在最小平方法基礎上創立的測量平差理論的幫助下，測算天體的運行軌跡。他用這種方法，測算出了小行星穀神星的運行軌跡。

穀神星於1801年被義大利天文學家皮亞齊發現，但因病他耽誤了觀測，從而失去了這顆小行星的軌跡。皮亞齊以希臘神話中的「豐收女神」對它命名，稱為穀神星，並將自己以前觀測的數據發表出來，希望全球的天文學家一起尋找。高斯通過以前3次的觀測數據，計算出了穀神星的運行軌跡。奧地利天文學家海因里希·歐伯斯根據高斯計算出的軌道成功地發現了穀神星。高斯將這種方法發表在其著作《天體運動論》（拉丁語：Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium）中。

高斯親自參加野外測量工作。他白天觀測，夜晚計算。在五到六年間，經他親自計算過的大地測量數據超過100萬個。當高斯領導的三角測量外場觀測走上正軌後，高斯把主要精力轉移到處理觀測成果的計算上，寫出了近20篇對現代大地測量學具有重大意義的論文。在這些論文中，他推導了由橢圓面向圓球面投影時的公式，並作出了詳細證明。這個理論直至現在仍有應用的價值。

漢諾威公國的大地測量工作至1848年結束。這項大地測量史上的巨大工程，如果沒有高斯在理論上的仔細推敲，在觀測上力圖合理和精確，在數據處理上儘量周密和細緻，就不能圓滿的完成。在當時的不發達的條件下，布設了大規模的大地控制網，精確地確定2578個三角點的大地坐標。

為了用橢圓在球面上的正形投影理論以解決大地測量中出現的問題，在這段時間內高斯亦從事了曲面和投影的理論，並成為了微分幾何的重要理論基礎。相對論證明了宇宙空間實際上是非歐幾何的空間。高斯的思想被近100年後的物理學所認可。

高斯試圖在漢諾威公國的大地測量中通過測量Harz的Brocken——Thüringer Wald的Inselsberg——哥廷根的Hohen Hagen三個山頭所構成的三角形的內角和，以驗證非歐幾何的正確性，但未成功。後來高斯朋友的兒子鮑耶·亞諾什在1823年證明了非歐幾何的存在，高斯對他勇於探索的精神表示了讚揚。1840年，俄國學者羅巴切夫斯基用德文寫了《平行線理論的幾何研究》一文，這篇論文的發表引起了高斯的注意。他非常重視這一論證，積極建議哥廷根大學聘請羅巴切夫斯基為通信院士。為了能直接閱讀他的著作，從這一年開始，63歲的高斯開始學習俄語，並最終掌握了這門外語。高斯、亞諾什和羅巴切夫斯基後來被並稱為微分幾何的始祖。

出於對實際應用的興趣，高斯發明了日光反射儀。日光反射儀可以將光束反射至大約450公里外的地方。高斯後來不止一次地為原先的設計作出改進，試製成功了後來被廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。

19世紀30年代，高斯發明了磁強計。他辭去了天文台的工作，而轉向物理的研究。他與物理學家威廉·愛德華·韋伯（1804－1891年）在電磁學領域共同工作。他比韋伯年長27歲，以亦師亦友的身份與其合作。1833年，通過受電磁影響的羅盤指針，他向韋伯發送出電報。這不僅是從韋伯的實驗室與天文台之間的第一個電話電報系統，也是世界首創的第一個電話電報系統。

1840年，他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場圖，並且定出了地球磁南極和磁北極的位置。次年，這些位置得到美國科學家的證實。

高斯在數個領域進行研究，但只把他認為已經成熟的理論發表出來。他經常對他的同事表示，該同事的結論自己以前已經證明過了，只是因為基礎理論的不完備而沒有發表。事實上高斯把他的研究結果都記錄了起來。他死後，他的20部紀錄著他的研究結果和想法的筆記被發現，證明高斯所說的是事實。一般人認為，20部筆記並非高斯筆記的全部。

1805年10月9日，高斯與其第一任妻子約翰娜·奧斯托夫（Johanna Osthoff，1780-1809 ）結婚^[25]，並和其育有兩子一女：約瑟夫（Joseph，1806-1873）、威廉明娜（Wilhelmina，1808-1840）和路易斯（Louis，1809-1810）。路易斯出生一個月後的1809 年10月11日，高斯的妻子逝世，幾個月後路易斯也不幸夭折。高斯對妻子的離去十分悲痛，他用古老的旋律風格給妻子寫了一封古代哀歌式的悼詞。^[26][27]

之後的1810年8月4日，高斯與他的第一任妻子的朋友Friederica Wilhelmine Waldeck（又名明娜，即Minna）結婚，並和其育有另外三個孩子：歐根 (Eugen，1811-1896)、威廉 (Wilhelm，1813-1896)和特蕾莎（Therese，1816-1864）。自1818年起，明娜的健康狀況下降，患上了肺結核，最終於1831年9月12日去世，終年43歲。^[28]之後特蕾莎接管這個家，照顧高斯的餘生。高斯的母親自1817年起和高斯住在一起，最終於1839年去世，享年95歲。^[29]

當第一任妻子逝世後，高斯變得和他父親一樣想要支配自己的子女。之後高斯與他的兒子們發生了衝突，他不希望他們中任何一個進入數學或科學的領域，唯恐「拉低家族聲譽」，同時他認為他們中沒有人能超越他自己的成就。^[30]

當長子約瑟夫還在上學時，他就於1921年作為助手協助父親高斯的測量工作。在大學的短暫學習後，他於1824年入伍漢諾威軍隊（英語：Hanoverian Army），並於1829年再次協助高斯的測量工作。1830年代後期，他負責將測量區域擴大到王國的西部地區。然而，儘管經過多年的努力，他一直處於較低的軍階（自1834年起擔任中尉），薪資很微薄，還需要依賴父親的經濟支持，尤其是在1840年結婚後加劇了這種情況。之後他離開了軍隊，並憑藉自己的測量學背景，擔任了漢諾威皇家國家鐵路（英語：Royal Hanoverian State Railways）的總監，負責鐵路網的建設。1836年，約瑟夫曾花費數個月在美國研究鐵路系統。^[31]

歐根在算術和語言方面展現著與高斯一樣出色的才能，並且他的性格活潑而時有叛逆。他想學習語文學，但高斯希望他成為一名律師。歐根負債纍纍，還在公眾面前引發醜聞，^[30]他在這種情況下於1830年9月突然離開哥廷根，經由布萊梅市移民到美國。起初，他揮霍了攜帶的一點錢，並且父親高斯還拒絕給他另外的經濟支持，之後他參軍了五年，還在美國毛皮公司（英語：American Fur Company）工作過，並在那裡學會了蘇族語。後來他移居密西西比州並成為了一名成功的商人。^[31]多年來，歐根的成功才逐漸改變了他在高斯的朋友和同事中的名聲。^[32][33]

威廉與天文學家弗里德利希·威廉·貝塞爾的侄女結婚，並於1837年移居美國密蘇里州。^[34]他最初在那裡是一位農民，後來在聖路易斯市的製鞋業致富。歐根和威廉在美國擁有許多後代，同時高斯的女兒們沒有後代，於是德國的高斯家族僅由約瑟夫傳承下來了。^[31]

高斯是個充滿熱情且工作認真的完美主義者，他拒絕發表他認為不完整和可能涉及爭論的作品，這符合他個人的座右銘：Pauca sed matura（直譯為英文是「few, but ripe」，直譯為中文是「少而精」）。從他的個人日記可知，對於同時代數學家所發表的一些重大的數學成果，高斯先於他們幾年或者幾十年就已經發現。 英國數學家艾瑞克·坦普爾·貝爾曾稱，如果高斯及時發表他的所有數學成果，這將使數學直接進步50年。^[35]高斯通常不願意透露他那些優雅證明背後的靈感，還細心地抹去了導致他得到這些結論的所有思考痕跡。

高斯不喜歡教學，他教授的學生不多，但一些學生卻成為了具有影響力的數學家，其中包括理查·戴德金、伯恩哈德·黎曼和弗里德利希·貝塞爾。在高斯的推薦下，1811年3月哥廷根大學授予貝塞爾榮譽博士學位。此外，高斯還推薦授予與他有過一段書信往來的女性數學家索菲·熱爾曼榮譽學位，但她因患乳腺癌離世未能收到。^[36]

高斯在1808年9月2日寫給法卡斯·博萊伊（英語：Farkas Bolyai）的一封信中總結了他對追求知識的觀點：^[37]

不是知識本身，而是學習的行為，不是擁有，而是去獲得的行為，給予了我最大的樂趣。當我闡明和詳盡討論一個主題後，我就轉身離開它，只為再次踏入「黑暗」。永不滿足的人是如此奇怪，如果他建成了一座大廈，那不是為了安詳地居住在其中，而是為了開始建造另一個。我想，世界的征服者一定有這樣的感覺，在一個王國剛剛被他征服之後，他就會向其他國家伸出了雙臂。^{[38][註 3]}

高斯堅持對宗教的寬容，他相信打擾其他正處在他們自己和平信念中的人是不對的。^[29]

高斯的母親沒有記錄高斯的出生日期，但她記得是在耶穌升天節的前八天（即復活節後39天）出生的。^[39]後來高斯找到一種尋找復活節日期的方法，於是通過計算得到了自己的出生日期。^[40]

德國地質學家、高斯在哥廷根大學的學生和摯友薩托里爾斯（英語：Wolfgang Sartorius von Waltershausen）寫有高斯的傳記，其中寫道，三歲的高斯便能糾正父親的計算錯誤。另外他還寫了一個著名的故事：在小學時，老師比特納和他的助手約翰·克里斯蒂安·馬丁·巴特爾斯（英語：Johann Christian Martin Bartels）在全班布置了一道等差數列求和的練習題，全班約有一百人，高斯最先給出正確答案，並且比其他人快得多。^[41][42]薩托里爾斯沒有給出這個故事的具體細節，更沒有給出這道題的具體內容，後來隨著時間推移，這個故事出現了許多版本，也越來越詳細地描述了求和題的具體內容，最廣為流傳的就是1至100之間所有的整數求和。^[43][44][42]

高斯把數學稱作「科學的皇后」^{[45][註 4]}。據稱，高斯曾經說過：如果一個學生在被告知歐拉恆等式時未能立刻視之為明顯的事實，這個學生將永遠不會成為一流的數學家。^[46][47][48]

1989年至2001年，高斯的肖像和他所發現的常態分布曲線與哥廷根地標性建築一起印在德國10馬克的鈔票中。另一方面，在漢諾威有和他有關的日光反射儀以及三角測量方法。在德國也發行了三種用以表彰高斯的郵票。第一種郵票（第725號）發行於1955年——即高斯逝世100周年；另外兩種郵票（第1246號和第1811號）發行於1977年——即高斯誕辰200周年。

高斯的雕像矗立在布藍茲維和哥廷根，位於後者的與德國數學家海因里希·馬丁·韋伯的紀念碑在一起。高斯的半身像放置於瓦爾哈拉神殿和位於波茲坦的德國地球科學研究中心（英語：GFZ German Research Centre for Geosciences）。

下薩克森州和哥廷根大學圖書館已經將高斯的全部著作數位化，並放置於網際網路上。

Daniel Kehlmann在2005年寫的一本小說《測量世界（英語：Measuring the World）》（德語：Die Vermessung der Welt，2006年出版英文版《Measuring the World》），以小說的歷史鏡頭來探索高斯的一生和工作，藉此與另一位德國地理學家亞歷山大·馮·洪堡作對比。2012年，由小說改編而成的同名電影《測量世界（英語：Measuring the World (film)）》上映。

2007年，他的半身像被引進德國巴伐利亞邦雷根斯堡瓦爾哈拉神殿。^[49]

在高斯的榮耀中，以他命名的事物包括：

1. 用在磁場的CGS制計量單位以高斯來命名。
2. 月球上的坑洞以他來命名。^[50]
3. 小行星1001又稱為「高斯星」。
4. 高斯號探險船，是德國遠征南極時所使用的船。

2018年4月30日，Google以首頁塗鴉紀念高斯的241歲誕辰。^[51][52][5]

• 
  德國發行的紀念高斯誕辰200周年的郵票，內容是複數平面。
• 
  呂內堡石楠草原上的高斯紀念碑

高斯的最為著名的著作有：

• 1799年：關於代數基本定理的博士論文（Doktorarbeit über den Fundamentalsatz der Algebra）
• 1801年：算術研究 （Disquisitiones Arithmeticae）
• 1809年：天體運動論（Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium）
• 1827年：曲面的一般研究（Disquisitiones generales circa superficies curvas）
• 1843-1844年：高等大地測量學理論（上，Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie, Teil 1）
• 1846-1847年：高等大地測量學理論（下，Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie, Teil 2）

• 1799年: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse [New proof of the theorem that every integral algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree]. Helmstedt: C. G. Fleckeisen. 1866.  (代數基本定理博士論文, 赫爾姆施泰特大學（英語：University of Helmstedt）)
• 1816年: Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 107–134. [2023-08-16]. （原始內容存檔於2023-04-04）. 
• 1816年: Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 135–142. [2023-08-16]. （原始內容存檔於2023-04-04）. 
• 1850年: Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 34–35. [2023-08-16]. （原始內容存檔於2023-04-04）. 
  • Die vier Gauss'schen Beweise für die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen in reelle Faktoren ersten und zweiten Grades. (1799–1849) [The four Gaussian proofs of the fundamental theorem of algebra]. 由Netto翻譯. Leipzig: Wilhelm Engelmann. 1890.  (德語)
• 1801年: Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerh. Fleischer jun. [2023-08-16]. （原始內容存檔於2023-06-21）. （《算術研究》）
  • Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory. 由Clarke, Arthur A.翻譯 2nd, corrected. New York: Springer. 1986 [2023-08-16]. ISBN 978-0-387-96254-2. doi:10.1007/978-1-4939-7560-0. （原始內容存檔於2022-11-22）. 
• 1808年: Theorematis arithmetici demonstratio nova. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis. Comm. Math.: 69–74. [2023-08-16]. （原始內容存檔於2023-04-04）.  (引入高斯引理，並將其用於二次互反律的第三個證明)
• 1809年: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. Hamburg: Friedrich Perthes & Johann Heinrich Besser （拉丁語）. 
  • Theory of the Motion of Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections. 由Davis, Charles Henry翻譯. Little, Brown & Co. 1857. 
• 1811年: Disquisitio de elementis ellipticis Palladis ex oppositionibus annorum 1803, 1804, 1805, 1806, 1807, 1808, 1809. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Math.: 1–26. [2023-08-16]. （原始內容存檔於2023-04-04）.  (Orbit of Pallas)
• 1811年: Summatio quarundam serierum singularium. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 1–40. [2023-08-16]. （原始內容存檔於2023-04-04）.  (確定二次高斯和（英語：Quadratic Gauss sum）的符號，用它給出二次互反律的第四個證明)
• 1812年: Disquisitiones generales circa seriem infinitam ${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma .1}}+{\mbox{etc.}}}$. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 1–42. 
• 1815年: Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 39–76. 
• 1818年: Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 3–20.  (二次互反律的第五和第六個證明)
• 1821年: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Prior. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 33–62. 
• 1823年: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Posterior. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 63–90. 
• 1828年: Gauss, Carl Friedrich. Supplementum theoriae combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. (Dieterich). 1828, 6: 57–98. Bibcode:1828stco.book.....G.  (關於以機率計算為基礎的高斯誤差傳播法則的三篇論文)
  • Gauss, Carl Friedrich; Stewart, G. W. Theory of the Combination of Observations Least Subject to Errors. Part One, Part Two, Supplement (Classics in Applied Mathematics). 由G. W. Stewart翻譯. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 1995. ISBN 978-0-89871-347-3. doi:10.1137/1.9781611971248. 
• 1827年: Disquisitiones generales circa superficies curvas. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 99–146. 
  • General Investigations of Curved Surfaces (PDF). 由J. C. Morehead and A. M. Hiltebeitel翻譯. The Princeton University Library. 1902. 
• 1828年: Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 27–56. 
• 1832年: Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 89–148. 
• 1845年: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Erste Abhandlung. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen: 3–46. 
• 1847年: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Zweite Abhandlung. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen: 3–44. 
• Klein, Felix (編), Gauß' wissenschaftliches Tagebuch 1796–1814, Mathematische Annalen, 1903, 57: 1–34, S2CID 119641638, doi:10.1007/BF01449013 （拉丁語及德語） 
  • Jeremy Gray. A commentary on Gauss's mathematical diary, 1796–1814. Expositiones Mathematicae. 1984, 2: 97–130. 

• 1832年: Principia generalia theoriae figurae fluidorum fluidorum in statu aequilibrii. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores: 39–88. 
• 1832: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores: 3–44. 
  • The Intensity of the Earth's Magnetic Force Reduced to Absolute Measurement. Translated by Susan P. Johnson.
• 1836: H.C. Schumacher (編). Erdmagnetismus und Magnetometer[地磁与磁力计]. Jahrbuch für 1836 (Tübingen: J.G.Cotta'sche Buchhandlung): 1–47 （德語）. 
• 1840: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte [General Theorems concerning the attractive and repulsive Forces acting in reciprocal Proportions of quadratic Distances]. Leipzig: Weidmannsche Buchhandlung. 1840 （德語）. 
• 1843: Dioptrische Untersuchungen [Dioptrical Investigations]. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen: 1–34 （德語）. 

• Weber, Wilhelm Eduard; Gauss, Carl Friedrich. Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1836–1838. Göttingen: Dieterichsche Buchhandlung. 1837–1839 （德語）. 
• Weber, Wilhelm Eduard; Gauss, Carl Friedrich. Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839–1841. Leipzig: Weidmannsche Verlagsbuchhandlung. 1840–1843 （德語）. 
• Weber, Wilhelm Eduard; Gauss, Carl Friedrich. Atlas des Erdmagnetismus nach den Elementen der Theorie entworfen. Supplement zu den Resultaten aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins. Leipzig: Weidmannsche Verlagsbuchhandlung. 1840 （德語）. 

• Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften (編). Carl Friedrich Gauss. Werke 1–12. Göttingen: (diverse publishers). 1863–1933 （拉丁語及德語）. 

• Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften (編). Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel. Leipzig: Wilhelm Engelmann. 1880 （德語）.  (1804年12月至1844年8月間與德國數學家弗里德利希·威廉·貝塞爾的信件)
• Schwemin, Friedhelm (編). Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Johann Elert Bode. Acta Historica Astronomica 53. Leipzig: Akademische Verlaganstalt. 2014. ISBN 978-3-944913-43-8 （德語）.  (1802年2月至1826年10月間與德國天文學家約翰·波得的信件)
• Schoenberg, Erich; Perlick, Alfons. Unbekannte Briefe von C. F. Gauß und Fr. W. Bessel. Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Math.-nat. Klasse, Neue Folge, No. 71. Munich: Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. 1955: 5–21 （德語）.  (1835年2月至1848年1月間寫給德國天文學教授博古斯拉夫斯基（英語：Palm Heinrich Ludwig von Boguslawski）的信)
• Franz Schmidt, Paul Stäckel (編). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Wolfgang Bolyai. Leipzig: B. G. Teubner. 1899 （德語）.  (1797年9月至1853年2月間與匈牙利數學家法卡斯·博萊伊（英語：Farkas Bolyai）的信件)
• Axel Wittmann (編). Obgleich und indeßen. Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Johann Franz Encke. Remagen: Verlag Kessel. 2018. ISBN 978-3945941379 （德語）.  (1810年6月至1854年6月間高斯與其學生德國天文學家約翰·法蘭茲·恩克的信件)
• Clemens Schaefer (編). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Christian Ludwig Gerling. Berlin: Otto Elsner. 1927 （德語）.  (1810年6月至1854年6月間高斯與其學生克里斯蒂安·路德維希·格爾林（英語：Christian Ludwig Gerling）的信件)
• Karl Christian Bruhns (編). Briefe zwischen A. v. Humboldt und Gauss. Leipzig: Wilhelm Engelmann. 1877 （德語）.  (1807年7月至1854年12月間與德國科學家亞歷山大·馮·洪堡的信件)
• Reich, Karin; Roussanova, Elena. Karl Kreil und der Erdmagnetismus. Seine Korrespondenz mit Carl Friedrich Gauß im historischen Kontext. Veröffentlichungen der Kommission für Geschichte der Naturwissenschaften, Mathematik und Medizin, No. 68. Vienna: Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften. 2018 （德語）.  (1835年至1843年間與奧地利天文學家卡爾·克萊爾（英語：Karl Kreil）的信件)
• Gerardy, Theo (編). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Carl Ludwig von Lecoq. Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, No. 4. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. 1959: 37–63 （德語）.  (1799年2月至1800年9月間與德國地圖製作者卡爾·路德維希·馮·勒科克的信件)
• Carl Schilling (編). Briefwechsel zwischen Olbers und Gauss: Erste Abtheilung. Wilhelm Olbers. Sein Leben und seine Werke. Zweiter Band. Berlin: Julius Springer. 1900 （德語）.  (1802年1月至1819年10月間與德國天文學家海因里希·奧伯斯的信件：第一部分)
• Carl Schilling (編). Briefwechsel zwischen Olbers und Gauss: Zweite Abtheilung. Wilhelm Olbers. Sein Leben und seine Werke. Zweiter Band. Berlin: Julius Springer. 1909 （德語）.  (1820年1月至1839年5月間與德國天文學家海因里希·奧伯斯的信件：第二部分)
• Christian August Friedrich Peters (編). Briefwechsel zwischen C. F. Gauss und H. C. Schumacher. Altona: Gustav Esch. 1860–1865 （德語）. （與德裔丹麥籍天文學家海因里希·克里斯蒂安·舒馬克的信件）
  • 1和2卷 (1808年4月至1836年3月)
  • 3和4卷(1836年3月至1845年4月)
  • 5和6卷(1845年4月至1850年11月)
• Poser, Hans (編). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Eberhard August Zimmermann. Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Folge 3, No. 39. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. 1987. ISBN 978-3525821169 （德語）.  (1795年至1815年間與德國地理學家埃伯哈德·奧古斯特·威廉·馮·齊默爾曼的信件)

哥廷根科學院提供了迄今為止已知的高斯與他人往來信件的完整全集，可在線訪問。^[53]他與其家人的書面遺產也可以在布藍茲維市檔案館中找到。^[54]

• 以卡爾·弗里德利希·高斯命名的事物列表
• 神童
• 高斯單位制
• 高斯光學