在數學上,特別是拓樸學中,開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。
通常微積分的課程中,會藉助歐式空間的距離去描述數列極限;直觀上,當
越來越大時數列
跟
要多靠近有多靠近的時候,就說
是數列
的極限,但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」,開集就是來自於"
點附近"這樣的直觀概念。類似的,函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。
滿足
的點
著藍色。滿足
的點
著紅色。紅色的點形成了開集。紅色和藍色的點的聯集是閉集。
直觀上,於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點,都可以找到一個以此點為圓心,且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤(但圓盤的邊界可能不在開集內)。開集的嚴謹定義由此而來。
所謂的
維歐式空間,指的是囊括所有實數n-元組
的集合(記為
)。 為了定義開集,可以推廣畢氏定理,將
中任兩點
與
的歐式距離定義為:
![{\displaystyle d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f385824e5393db5bb057efe1ad09b636c74ca54)
然後定義所謂的(
維)開球(open ball):
![{\displaystyle B(a,\,r):={\bigg \{}p\in \mathbb {R} ^{n}\,{\bigg |}\,d_{n}(a,\,p)<r{\bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8bae64034dbf207adba429ff8030e4aeda2bd6)
也就是直觀上,一個以
為球心,
為半徑但不包含表面的球體。
這樣就可以作如下的定義:
也就是直觀上,取開集
的任意點
都有一個以
為球心的開球完全包含於
。
只要把上節的歐式距離改成一般的度量,開集的概念很容易推廣到賦距空間
中。
以下把
中的開球(open ball)定義成:
![{\displaystyle B(a,\,\delta ):={\bigg \{}p\in M\,{\bigg |}\,d(a,\,p)<\delta {\bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce68c94b089377c1dd07f04460a1f90ca69824a5)
這樣就可以作如下的定義:
這的確推廣了歐式空間部分的定義,因為歐式距離
和
本身就組成了一個賦距空間
。
賦距空間的開集還會有以下的性質:
證明
|
(1) 對每個 都有 ,所以 是自己的一個開集;另外對所有 都有 (直觀上來說沒有點可以當開球的球心),所以邏輯上不用驗證是否有開球包含於 ,就可以得到 滿足開集的定義 (直觀上來說,前提為假的話,不論結論是否為真,「前提=>結論」都是對的)。
(2) 若 ,依據假設存在 使得 且 ,這樣取 的話,就有 ,是故 也是 的開集。
(3) 若 ,依照聯集的性質,存在 使得 ;但根據假設, 都是 的開集,換句話說,存在 使 ,那因為 ,所以有 ,是故 也是 的開集。
|
事實上這些性質這就是拓撲空間定義的動機。
開集是拓撲空間定義的基石;也就是從任意母集合
出發,再選取
的特定的子集族
,規定
中的集合就是開集,這樣的子集族
被叫做
上的拓撲:
根據上一節賦距空間的性質,取
為所有
的開集所構成的子集族,則
也是一拓撲空間。
- 度量空間
中,以點
為中心,
為半徑的球體
為開集,任意的開集
包含以
為中心,充分小的
為半徑的球體
。
- 流形中的開集為子流形。
開集在拓撲學分支中有著基礎的重要性。當定義拓撲空間和其他拓撲結構(處理鄰近性與收斂此類概念,比如度量空間和均勻空間)時,都會用到開集的概念。
拓撲空間
的每個子集
都包含至少一個(可能為空)開集;最大的這種開集被叫做
的內部。它可以通過取包含在
中的所有開集的聯集來構造。
給定拓撲空間
和
以及函數
,如果在
中的所有開集的前像是在
中的開集,則
是連續的,這是實函數上的連續定義的推廣,
時這與實函數的連續定義等價。如果在
中的所有開集的像是
中的開集,映射
被叫做開映射。
實直線上的開集都是可數個不相交開區間的聯集。