自然密度(英語:natural density),又稱漸進密度(英語:asymptotic density),是數論中度量自然數子集大小的工具之一。
以平方數集和自然數集的大小關係為例:
- 平方數集與自然數集都是可數無窮集,我們能夠在兩個集合間建立一一映射(對於任意的自然數
都可以找到對應的平方數
與之對應,反之亦然),即兩個集合是等勢的。
- 然而,這種基於基數的大小比較違反了自然數多於平方數的直觀認識,因為所有平方數都是自然數,而卻有許多自然數不是平方數,且隨著自然數的增大平方數會變得越來越稀少。通過將這種度量集合大小的直覺嚴格化,可以得到自然密度這一概念。
考慮自然數的一個子集
和整數區間
:
- 如果從整數區間
中隨機選取一個整數,那麼這個整數屬於
的概率應該等於
與整數區間
的交集中的所有元素在整數區間
中的占比。當
趨近於無窮時,若上述概率也趨近於某個極限,則將該極限定義為
的自然密度。
的自然密度也可以被理解為:任取一個自然數,該自然數屬於
的概率。
自然密度(以及一些其他類型的密度)也是概率數論的研究對象。
與施尼勒爾曼密度不同,並不是任何自然數的子集都有自然密度。這是自然密度的一個不足之處。
對於一個自然數集的子集
,當
趨向於無窮時,若
中不大於
的元素個數與
的比值收斂到
,則稱
的自然密度為
。
更進一步,若定義
為
里不大於
的元素個數,那麼命題「
的自然密度為
」等效於:
,當
[1]
從定義中可以看出,若
是某個集合
的自然密度,則一定有
。
設
是自然數集
的一個子集。對任何
,定義
,
。
則
的上自然密度(英語:upper asymptotic density)為:
![{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1af153fb9ca6245c64a9563c86d114af9baf24)
其中
是上極限。
也可簡稱為
的上密度。
同樣地,定義A的下自然密度(英語:lower asymptotic density)為:
![{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db172e55ad6226f0ca80461b735d7b5c264d43c)
1. 由上自然密度和下自然密度的定義,我們也可以說
的自然密度
是:
- 若
,則
等於
(或
) 。
2. 自然密度的定義還可以表示為:
(若極限存在)[2]
3. 可以證明,下述命題也是自然密度的定義:
- 若將自然數集
的子集
寫作一個遞增數列:
![{\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd44189bfbdae374513f5ebec6c9082ffe48f95)
- 那麼
![{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b283aa8c6da9ddf975e27089f645fe40b21b9a88)
![{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9e585534d9633cca77f6b255bdc9c0f0cc69bc)
(若極限存在)
一個稍弱的密度定義是 上Banach密度(英語:upper Banach density)。對於
,定義
為:
![{\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c45b7a4f70eb4c4f7ed8897f06b7ad7dad9ab54)
- 若對於集合
存在
,則對於其補集
,
成立。
- 若
,
及
均存在,則
成立。
- 自然數集的自然密度為
,即
成立。
- 對於自然數集的任意有限子集
, 有
成立。
- 對於平方數集
,有
成立。
- 對於偶數集
,有
成立。更一般地,對於等差級數組成的集合
,有
成立。
- 對於質數集合
,由質數定理知:
成立。
- 無平方數因數的數的集合的自然密度為
。更一般地,無
次方因數的數的集合的自然密度為
,其中
是黎曼ζ函數。
- 過剩數集合具有非零的自然密度[3]。Marc Deléglise在1998年證明了過剩數和完全數的集合的自然密度在0.2474與0.2480之間[4]。
- 所有在二進制表示法中位數為奇數的自然數的集合,即
,不存在自然密度。這是因為該集合的上自然密度不等於下自然密度。
- 其上自然密度為:
![{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7bd4d009dbfd46ea00a47ded9a3c9c14ea2e06)
- 而其下自然密度為:
![{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562ae0e99b3cccbfe1c31de4fb1004c07f5d1e7c)
- 同樣,所有十進制表示法中以
開頭的自然數的集合也不具有自然密度。其上自然密度為
而其下自然密度為
。[1]
- 對區間[0,1]上的任意Equidistributed序列
,定義單調集族
:
![{\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d03ee49d2e204496c91699fd249c8c8207c7a7)
- 則依定義有:
- 對於任意的
,
。
- 若
有正的上自然密度,則塞邁雷迪定理表明
包含了任意長度的等差數列。Furstenberg–Sárközy定理表明,
內一定存在差為平方數的兩個元素。
用類似的方法可以定義出自然數集上的其他密度函數。 例如,集合
的對數密度(英語:logarithmic density)可以定義為:
(若極限存在)
同樣也可以定義對應的上對數密度和下對數密度。