几何学
一个球面投射到一个平面。
纲要（英语：Outline of geometry） 历史（英语：History of geometry）
分支（英语：List of geometry topics） 欧几里得 非欧几里得 椭圆 球面 双曲 射影 仿射 合成（英语：Synthetic geometry） 解析 代数 算术几何 微分 黎曼 辛几何 离散微分（英语：Discrete differential geometry） 有限 重合
概念 特性 維度 尺规作图 角度 曲线 对角线 平行 垂直 顶点 全等 相似 对称
零 / 一维 点 直线 线段 射线 长度
二维 平面 面积 多边形 三角形 Altitude 斜边 邊長 勾股定理 平行四边形 正方形 三角形 菱形 平行四边形 四边形 梯形 等腰梯形 筝形 圆形 直径 周长 面积
三维 空間 多面體 体积 表面積 正多面體 凸正多面體 六面體 立方體 長方體 四角柱 平行六面體 幾何體 棱锥 圆锥体 棱柱 圆柱体 球體 直径 體積與表面積 球缺
四维- / 其他维度 多胞形 四维凸正多胞体 四維超正方體 超球體
几何学家
按照姓名 会田安明 阿耶波多 Ahmes 海什木 阿波罗尼奥斯 阿基米德 阿蒂亚 Baudhayana 鲍耶 Brahmagupta Cartan Descartes 欧几里得 欧拉 高斯 格罗莫夫 希尔伯特 Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám 克莱因 罗巴切夫斯基 Manava 闵可夫斯基 明安图 帕斯卡 毕达哥拉斯 Parameshvara 庞加莱 黎曼 Sakabe Sijzi 图西 維布倫 Virasena 杨辉 al-Yasamin 张衡 几何学家列表
按照时期 公元前 Ahmes Baudhayana Manava 毕达哥拉斯 欧几里得 阿基米德 阿波罗尼奥斯 1–1400年代 张衡 Kātyāyana 阿耶波多 Brahmagupta Virasena 海什木 Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi 杨辉 Parameshvara 1400–1700年代 Jyeṣṭhadeva Descartes 帕斯卡 明安图 欧拉 Sakabe 会田安明 1700–1900年代 高斯 罗巴切夫斯基 鲍耶 黎曼 克莱因 庞加莱 希尔伯特 闵可夫斯基 Cartan 維布倫 现代 阿蒂亚 格罗莫夫
几何学主题
查 论 编

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。

古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为了近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。

從一開始到19世紀中葉，微分幾何是從外在觀點來進行研究的：曲線和曲面是被放在更高維度的歐幾里得空間中來考慮的（譬如曲面被放在三維的背景空間中）。其中的最簡單的成果就是曲線微分幾何中的結果。內在觀點開始於黎曼的工作，在那裡因為幾何對象被認為是獨立的給出的，所以不能說移到外面來考慮這個對象。

內在的觀點更加靈活，例如在相對論中時空不能很自然的用外在形式表示。但用內在的觀點，曲率和聯絡這樣的結構比較難定義一些，所以採用內在的觀點也不是沒有代價的。

這兩種觀點也是可以融通的，即外在幾何可以被看作是附加於內在幾何上的結構。（見納什嵌入定理）

微分几何的工具也就是流形上的微积分：包括对于流形，切丛，余切丛，微分形式，外微分，${\displaystyle p}$-形式在${\displaystyle p}$维子流形上的积分以及斯托克斯定理，楔积，和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的应用来讲，必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数：曲率的很多表现方式。

可微流形是一个拓扑空间，它有一个开覆盖，其中的每个开集同胚于${\displaystyle R^{n}}$中的一个开单位球。并且，如果${\displaystyle f}$,${\displaystyle g}$是其中两个同胚映射，则函数${\displaystyle f^{-1}\circ g}$无限可微。我们称一个函数无限可微，如果它和每个同胚的复合是从开球到${\displaystyle R}$的无限可微函数。

在流形的每一点，有一个该点的切空间，它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度（方向和大小）所组成。对一个n维流形，每点的切空间是一个n维向量空间，或者说是一个Rⁿ。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间，除以 所有取值为0并且一阶导数为0的函数空间（所得到的余空间）。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”，因而只需要用到可微性。

向量场是从流形到它的切空间的并集（切丛）的函数，在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为纤维丛的截面。 向量场可微，如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给了一个从实数到切空间的函数：曲线上每点的速度。一条曲线称为一个向量场的一个解，如果曲线每点的速度和向量场在该点的值相等。

交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V^*的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数，则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。

• 黎曼幾何

黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形，他们因此无穷小得看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度，散度，曲线的长度等概念得到了推广；而无须假设空间整体上有这么对称。

• 复幾何

研究的对象是复流形。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非奇异的复代数簇自然的是复流形，因此与复代数几何有着紧密的联系。

• 辛幾何

这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式（也就是，一个闭的非退化2-形式）的微分流形。

• 切觸幾何

这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说，在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式${\displaystyle \alpha }$使得${\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}}$处处非退化。

• 芬斯勒幾何

芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形，也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。

• A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003
• Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery

1. Michael Spivak (1999)， A Comprehensive Introduction to Differential Geometry，(5 Volumes),3rd Edition.
2. Manfredo Do Carmo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall.
3. Manfredo Perdigao do Carmo, Francis Flaherty (1994), Riemannian Geometry.
4. John McCleary (1994), Geometry from a Differentiable Viewpoint
5. Ethan D. Bloch (1996), A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry
6. Alfred Gray (1998), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed.