扭棱四面體
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類別 | 凸多面體 | ||
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對偶多面體 | 五角十二面體 | ||
數學表示法 | |||
考克斯特符號 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
性質 | |||
面 | 20 | ||
邊 | 30 | ||
頂點 | 12 | ||
歐拉特徵數 | F=20, E=30, V=12 (χ=2) | ||
組成與佈局 | |||
面的種類 | 8個正三角形 12個等腰三角形 | ||
對稱性 | |||
對稱群 | Th, [4,3+], (3*2), order 24 | ||
旋轉對稱群 | Td, [3,3]+, (332), order 12 | ||
特性 | |||
凸 | |||
圖像 | |||
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在幾何學中,扭棱四面體是指正四面體經過扭棱變換後所形成的多面體。其拓樸結構與正二十面體等價。一般會將這種立體的面分為3組,一組是原始四面體的面,另一組是來自原像之頂點圖的面,另一組是扭棱變換過程中所形成的面。若兩組面構成的三角形不全等,其結果立體將會變成一個外觀與正二十面體非常相似,但不相同的立體,因此又稱偽正二十面體[1],其具備五角十二面體(黃鐵礦晶型)對稱性[2]。部分文獻將這種立體稱為扭棱八面體(snub octahedron)[3]、扭棱截半四面體(或扭棱四-四面體,snub tetratetrahedron)[4]。部分礦石的晶體結構會結晶成這種形狀。[5]
性質
扭棱四面體是一種二十面體,由20個三角形組成。扭棱四面體可以視為四面體經過扭棱變換所形成的立體,在扭稜的過程中會形成3種面,一種是原始四面體的面、另一種是來自原像頂點圖的面、還有一種是扭棱變換過程中所形成的面。若這三種面皆全等,整個立體將與正二十面體無異。[7][8]
![]() 四面體扭棱成扭棱四面體的過程, 其中藍色的面代表原始四面體的面; 紅色的面代表來自原像頂點圖的面; 白色的面代表扭棱變換過程中所形成的面 |
拓樸結構
扭棱四面體的拓樸結構與正二十面體等價[5]。若將四面體扭棱過程中所形成的面兩兩合併為1個菱形,則其拓樸結構與截半立方體相同。[4]
頂點座標
這種立體的頂點座標可以用的循環排列來構造,這個頂點排構建方式又可視為是交錯截角的截角八面體,其與耶森二十面體相同,但頂點間相連方式不同[9]。而若取則會變為正二十面體,其中為黃金比例。[1]
耶森二十面體
耶森二十面體是一個與扭棱四面體相同頂點排列方式的立體,但耶森二十面體頂點間的相連方式與扭棱四面體不同。耶森二十面體是非凸多面體,並具有直角的二面角。[10]
對偶多面體
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Polyhedron_pyritohedron_transparent_max.png/220px-Polyhedron_pyritohedron_transparent_max.png)
這種立體因為外觀與正二十面體十分類似,但不是正多面體因此又被稱為偽正二十面體。其對偶多面體也非常類似正二十面體的對偶多面體——正十二面體,然而其也不是正多面體。這種立體的對偶多面體為五角十二面體,是一種由12個不等邊五邊形組成的十二面體,具有四面體群對稱性。其與正十二面體類似,皆是由12個全等的五邊形組成,且每個頂點都是3個五邊形的公共頂點[11],但由於其面不是正多邊形,其頂點的排佈未能達到五摺對稱性,因此不屬於正多面體。部分的化學物質或礦石[12]其晶體形狀是這種形狀,例如黃鐵礦和部分的天然氣水合物[13]。其英文名稱Pyritohedron是來自黃鐵礦的英文pyrite以及多面體的字尾-hedron命名的。[14]
相關多面體
原像 | ![]() 正四面體 |
![]() 立方體 |
![]() 正八面體 |
![]() 正十二面體 |
![]() 正二十面體 |
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扭稜 | ![]() 扭棱四面體 sr{3,3} |
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扭棱立方體 sr{4,3} |
扭棱八面體 sr{3,4} |
扭棱十二面體 sr{5,3} |
扭棱二十面體 sr{3,5} | ||
完全扭稜 | ![]() 完全扭稜四面體 β{3,3} |
![]() 完全扭稜立方體 β{4,3} |
![]() 二複合二十面體 β{3,4} |
![]() 完全扭稜十二面體 β{5,3} |
![]() 完全扭稜二十面體 β{3,5} |
參見
參考文獻
- ^ 1.0 1.1 John Baez. Fool's Gold. September 11, 2011 [2021-08-14]. (原始內容存檔於2018-05-19).
- ^ Symmetries Up To Three Dimensions. (原始內容存檔於2021-08-14).
- ^ Kappraff, J. Connections: The Geometric Bridge Between Art & Science (2nd Edition). Series On Knots And Everything. World Scientific Publishing Company. 2001: 475 [2021-08-14]. ISBN 9789814491327. (原始內容存檔於2021-08-14).
- ^ 4.0 4.1 Jim McNeill. Polyhedral "Twisters". orchidpalms.com. [2021-08-14]. (原始內容存檔於2019-03-11).
- ^ 5.0 5.1 John Baez. Who Discovered the Icosahedron?. Special Session on History and Philosophy of Mathematics, 2009 Fall Western Section Meeting of the AMS. September 11, 2009 [2021-08-14]. (原始內容存檔於2020-05-29).
- ^ Th. Hahn (編). Crystallographic and noncrystallographic point groups (PDF). International Tables for Crystallography: Space-group symmetry. International Tables for Crystallography 1 (Chester, England: International Union of Crystallography). 2006-10-01, A: pp. 763–795 [2021-08-14]. ISBN 9780792365907. doi:10.1107/97809553602060000100. (原始內容存檔 (PDF)於2021-08-14).
- ^ John Sharp. Have you seen this number?. The Mathematical Gazette. 1998-07, 82 (494): 203–214 [2021-08-16]. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3620403 (英語).
- ^ George W. Hart. Symmetry Planes. 1996 [2021-08-14]. (原始內容存檔於2021-08-16).
- ^ Børge Jessen. Orthogonal icosahedra. Nordisk Matematisk Tidskrift. 1967, 15 (2): 90–96. JSTOR 24524998. MR 0226494.
- ^ Branko Grünbaum. Acoptic polyhedra (PDF). Advances in Discrete and Computational Geometry (South Hadley, MA, 1996). Contemporary Mathematics 223. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1999: 163–199 [2021-08-14]. MR 1661382. doi:10.1090/conm/223/03137. (原始內容存檔 (PDF)於2021-03-31).
- ^ Crystal Habit (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館). Galleries.com. Retrieved on 2016-12-02.
- ^ 中村慶三郎. 朝鮮コバルト鑛床調査概報. 地學雑誌 (公益社団法人 東京地學協會). 1942, 54 (6): 211––230.
- ^ 天然氣水合物能替代石油嗎?. 科學人雜誌 - 遠流. [2021-08-14]. (原始內容存檔於2021-08-16).
天然氣水合物常見的兩種籠狀結構為五角十二面體
- ^ Pyrite. stonetrust. [2019-11-04]. (原始內容存檔於2019-02-23).
外部連結
- 扭棱四面體的各種變體 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
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